(Chevalier de Méré), «человек большого парижского света, придворный французского короля. Занятый решением вопросов, ставимых азартными играми, которые были предметом его постоянных увлечений, он, по своему близкому знакомству с Блезом Паскалем, содействовал привлечению последнего к занятиям теорией вероятностей, положившим, как известно, начало её развитию. Сделал он это невольно, предложив Паскалю для решения следующие две задачи.
- При скольких бросаниях двух игральных костей можно надеяться получить sonnez, т.е. шесть очков на каждой?
- Определить жребий двух игроков после известного числа бросаний игральных костей, т.е. найти отношение, в котором они должны разделить ставку, если предположить, что между ними состоялось соглашение о прекращении игры до её окончания.
Сам де Мере решил эти задачи только в простейших частных случаях».
См. также ПАСКАЛЬ, ГАЛИЛЕЙ, ЖИРНЫЙ МЯСНИК.
Литература: Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона; Encyclopaedia Britannica (1994); Scarne’s New Complete Guide To Gambling.
Решение 1-й части задачи кавалера де Мере
Предположим, что кости разноцветные: красная и белая.
Результаты одного из подбрасываний такой пары костей можно описать множеством всех пар u1u2, составленных из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Первое число u1 описывает число очков на красной кости, а второе число u2 — на белой. Результаты m последовательных подбрасываний можно описать множеством U всех строк U = {u11u21,u12u22,…,u1mu2m} длины m, составленных из пар чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Первое число i-й пары ui1 описывает число очков на красной кости при i-м подбрасывании, а второе число ui2 — на белой (i = 1,…, m). По правилу умножения таких строк 36m.
Симметричность игральных костей позволяет считать все результаты равновозможными. Поэтому для описания рассматриваемого опыта молено использовать модель Лапласа для 36m равновероятных исходов.
Задача сводится к вычислению вероятности Р (А) события А, составленного из всех строк и, в которых есть хотя бы одна пара 66. Это событие описывает появление хотя бы при одном подбрасывании двойной шестерки: 6 очков на красной кости и 6 — на белой.
Проще вычислить сначала вероятность дополнительного события А’, составленного из всех строк u, в которых нет ни одной
пары 66. По правилу умножения таких строк 35m. Следовательно,
P(A’)=n(A’)/n(U) = 35m/36m=(35/36)m.
По правилу дополнения отсюда вытекает, что
Р(А)= 1 - P(A’) = 1 - (35/36)m.
Неравенство Р (А) ≥ 1/2 поэтому будет эквивалентно неравенству (35/36)m ≤ 1/2. В свою очередь это неравенство эквивалентно неравенству
m ≥ log(1/2)/log(35/36) ≈ 24.6.
Таким образом, для того, чтобы вероятность появления двойной шестерки была больше половины, нужно подбрасывать кости самое меньшее 25 раз.
Замечание. Задача де Мере является одной из первых задач, с которыми связано зарождение современной теории вероятностей. В середине XVII века любивший азартные игры французский дворянин де Мере предложил эту задачу одному из выдающихся ученых того времени Паскалю.
Задача де Мере возникла в связи со следующей игрой. Две кости подбрасываются 24 раза. Можно ставить либо на появление хотя бы раз двойной шестерки, либо против этого результата. Приведенные рассуждения показывают, что в такой игре на двойную шестерку ставить невыгодно: вероятность выигрыша в этом случае равна 1 - (35/36)24= 0.491404 < 1/2.
Сначала де Мере ставил на появление хотя бы одной шестерки при подбрасывании одной кости 4 раза и, как правило, выигрывал чаще, чем проигрывал. (Вероятность появления хотя бы одной шестерки при четырех подбрасываниях одной кости равна 1 — (5/6)4 = 671/1296 > 1/2.) Когда это было замечено, де Мере начал ставить на появление хотя бы одной пары шестерок при подбрасывании двух костей 24 раза и, как правило, чаще проигрывал, чем выигрывал (1- (35/36)24 < 1/2).
Сам де Мере правильно подсчитал, что вероятность появления двойной шестерки при подбрасывании пары костей в 6 раз меньше вероятности появления шестерки при подбрасывании одной кости. Отсюда он сделал неправильный вывод о том, что вероятность q появления шестерки при четырех подбрасываниях одной кости в 6 раз меньше вероятности р появления шестерки при четырех подбрасываниях одной кости: q = 1/6 - р, а вероятность двойной шестерки при 6 • 4 = 24 подбрасываниях пары костей равна 6•q = p> 1/2.
Комментарии (0)